| Exemples d'études de phénomènes conduisant à une équation différentielle

En mécanique : Période d'oscillation d'un pendule
Le pendule expérimental représenté ci-contre est articulé autour de l'axe . Il est constitué d'une tige et d'un cylindre évidé en acier. On peut mettre en place à l'intérieur du cylindre évidé un disque en aluminium. Le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle a() et abandonné sans vitesse initiale à l'instant t=0. Son mouvement est alors défini par l'angle a(t) entre la verticale et l'axe du pendule à l'instant t. L'objectif de l'exercice est d'établir une relation entre la période d'oscillation du pendule, la position de son centre de gravité et son moment d'inertie par rapport à l'axe . Pour des raisons de symétrie, on sait que le centre de gravité G du pendule est sur son axe.

L'application du théorème du moment cinétique, dans le cas où a(t) reste faible, conduit à écrire l'équation différentielle (E) : 

La résolution de cette équation différentielle va permettre d'établir une relation entre le moment d'inertie  du pendule par rapport à l'axe Ox1 ,
la position du point G, définie par l = OG et la période d'oscillation du pendule.
m est la masse du pendule,
g est l'accélération de la pesanteur.
Les résultats des questions 1., 2. et 3. seront donnés en fonction de , m, g,l et a 0.
1.	Déterminer la solution générale de (E).
2.	Déterminer la solution de l'équation (E) vérifiant les conditions :  
a (0) = a0 et a'(0) = 0.
3.	Sachant que la période de la fonction  est T= , montrer que la période d'oscillation du pendule est :  T= .
4.	Applications : on prend g = 9,81 m.s-2.
a.	Le pendule est constitué de la tige et du cylindre creux en acier. 
On a m = 43 kg, l = 0,863 m. On mesure expérimentalement T = 2,12 s. 
Calculer .
b.	Le pendule est constitué de la tige, du cylindre creux, et d'un disque en aluminium. On a m = 47,25 kg, = 45,5 kg.m2. On mesure expérimentalement T=2,11 s. Calculer l.